内力组合相关疑惑

以框架结构为例，抗震设计时，内力组合遵循一下原则：（电脑也是这么算的，具体可以参见广厦计算结果）
注意：下面 $\gamma _ { GE }$ 取1.2是老规范，新规范是1.3.

关键要义：在同一个组合下一直算（包括强柱弱梁等内力调整，要在同一个组合内调整），然后最后截面设计时再在不同组合中取最不利的值。
广厦内力组合如下，验证了上面的想法。

振型分解反应谱法(弹性分析)

推导过程

谭启阳老师给我们上钢结构设计课程时讲到了振型分解反应谱法，之前学的不够深入，很多都是半知半解。结合我的一些笔记和理解，现分享如下：

看完上面也就理解了振型参与质量系数$\mu _ { i }$和振型有效质量系数$\sum _ { i = 1 } ^ { j } \mu _ { i }$,其中j表示累加到第j振型。
一般第一阶振型的振型参与质量系数在0.85左右，这也是为啥底部剪力法中等效质量取总质量的0.85倍了(如下式)。

具体细节证明

特征值方程解的问题

上述推导过程中提到：通过解频率方程 $| K - \omega ^ { 2 } M | = 0$ ，能得到的n个正特征值(可能有重根)和n个线性无关的特征向量。其中为啥一定能得到n个线性无关的特征向量？
答：n个互不相同频率对应的特征向量很容易证明线性无关，线性代数书上也有相关证明。那如果n个频率中有重频的话，重频对应的特征向量也线性无关吗？答案是可以找到线性无关的特征向量，也可以找到线性相关的。具体可参考为什么实对称矩阵相同的特征值对应的特征向量可以线性无关，也可以线性相关？

结构刚度矩阵正定问题

如何证明结构的刚度矩阵的刚度一定是正定的？
答：从物理意义方面，可以利用应变能来证明；从数学方面，可以通过结构平衡-几何矩阵互伴定理来证明，具体证明见本博客文章：力学基础与专业基础—结构力学—结构平衡-几何互伴定理这一板块。

底部剪力法(弹性分析)

注意底部剪力法的适用范围！

时程分析法(弹性分析、弹塑性分析)

中心差分法

从上述资料中可以看出，以线弹性体系为例，有：

当我们给定地震加速度时程曲线(也就已知上式中 $\ddot { X } _ { g , i }$ )，(第0时刻和第-1时刻由上述资料可知是已知的)，就可以求出任意时刻结构体系的位移，也即得到了结构体系的位移时程曲线。

焊接纵向、横向残余应力的理解

1. 焊接纵向残余应力
   所谓纵向，就是应力方向与焊缝长度方向平行。如下图所示。

   
   

   对于是拉应力还是压应力，应该这么理解：在冷却时，高温的部分受到已经冷却（或者说热影响不大）的区域限制，限制它收缩，故在其中产生了拉应力。由于板件未受外力，截面必然平衡，故两端的纵向残余应力为压应力。

2. 焊接横向残余应力
   所谓横向就是应力方向垂直于焊缝长度方向，例如两块板对接焊，当焊缝纵向收缩时，两块板件有向相反反向弯曲的趋势，造成焊缝中部两端受压，中间受拉。如下图所示。
   

剪力墙按受力特性的分类及其受力特征

1. 整体墙
   定义：无洞口的剪力墙或剪力墙上开有一定数量的洞口，但洞口的面积不超过墙体面积的16%，且洞口至墙边的净距及洞口之间的净距大于洞孔长边尺寸时，可以忽略洞口对墙体的影响，这种墙体称为整体剪力墙。
   受力特征：整体剪力墙的受力状态如同竖向悬臂梁，截面变形后仍符合平面假定，因而截面应力可按材料力学公式计算，变形属弯曲型。
2. 整体小开口墙
   定义：当剪力墙上所开洞口面积稍大且超过墙体面积的16%时，在水平荷载作用下，这类剪力墙截面上的正应力分布略偏离了直线分布的规律，变成了相当于在整体墙弯曲时的直线分布应力之上叠加了墙肢局部弯曲应力，当墙肢中的局部弯矩不超过墙体整体弯矩的15%时，其截面变形仍接近于整体截面剪力墙，这种剪力墙称之为小开口整体剪力墙。
   受力特征：对于小开口剪力墙，其截面变形大体上仍符合平面假定，正应力大体上呈直线分布。为计算方便，力和变形仍按材料力学计算，然后适当修正。（一般内力计算是：将总力矩的85%按材料力学的方法计算墙肢弯矩及轴力，将总力矩的15%按墙肢的刚度进行分配。位移的计算：按照整体墙计算，不过考虑到洞口削弱墙体刚度，最终结果要放大20%）

3. 联肢墙
   定义：当剪力墙沿竖向开有一列或多列较大的洞口时，由于洞口较大，剪力墙截面的整体性已被破坏，剪力墙的截面变形已不再符合平截面假设。这时剪力墙成为由一系列连梁约束的墙肢所组成的联肢墙。
   受力特征：洞口开得比较大，截面的整体性已经破坏，横截面上正应力的分布远不是遵循沿一根直线的规律。但墙肢的线刚度比同列两孔间所形成的连梁的线刚度大得多，每根连梁中部有反弯点，各墙肢单独弯曲作用较为显著，但仅在个别或少数层墙肢出现反弯点。其变形曲线与整体小开口墙相近，仍以弯曲变形为主，内力计算宜采用连续化方法，例如连续连杆法。
   连续连杆法基本假定:

   1. 连梁反弯点位于跨中，连梁的作用可以用沿高度 均匀分布的连续弹性薄片代替。
   2. 各墙肢的刚度相差不过分悬殊，因而变形曲线相似。
   3. 连梁和墙肢考虑弯曲和剪切变形，墙肢还应考虑轴向变形的影响。
   4. 各墙肢、连梁截面尺寸、材料强度及层高沿剪力墙全高相同。

   基本原理：运用力法原理，将连梁中点切开，去掉多余约束，建立静定体系。切开后连杆剪力是多余未知力，是一个连续函数。由切开处的变形协调条件建立连杆剪力的微分方程，求解微分方程即得连杆剪力 。将层高范围内的各点剪力积分还原成一根连梁的剪力。各层连梁中点剪力求出后，所有墙肢及连梁内力都可相继求出。

4. 壁式框架
   定义：当剪力墙的洞口尺寸较大，墙肢宽度较小，连梁的线刚度接近于墙肢的线刚度时，剪力墙的受力性能已接近于框架，这种剪力墙称为壁式框架。
   受力特征：洞口开得比联肢剪力墙更宽，墙肢宽度较小，墙肢与连梁刚度接近时，墙肢明显出现局部弯矩，在许多楼层有反弯点。剪力墙的内力分布接近框架。壁式框架实质是介于剪力墙和框架之间的一种过渡形式，它的变形已很接近剪切型。只不过壁柱和壁梁都较宽，因而在梁柱交接区形成不产生变形的刚域。

框架剪力墙结构内力计算

🖋️核心思路：将所有框架合并为总框架，所有剪力墙合并为总剪力墙，外力在框架和剪力墙之间的分配由协同工作计算确定，协同工作计算采用连续连杆法。
PS: 后面《钢结构设计》中框架支撑体系的计算也是如此思路，只是把剪力墙换为支撑。

双向板计算

对于双向板的设计，有弹性设计和塑性设计两种。对于弹性设计，是通过查表得出弯矩设计值，书上也容易理解。对于塑性设计，书上采用了塑性铰线法，通过一系列推到，得到荷载P作用时，板的弯矩（书上表述为承载力，尚有不妥，应该为内力更好），然后配筋设计了。

从中也可以发现，所谓弹性设计、塑性设计，归纳起来就是以何种状态的抗力去抵抗该状态下的效应就是何种设计。

何为单向板与双向板？
在学习《混凝土结构基本原理》之初，对于单向板，我们是按照长边/短边大于2（具体分为大于等于3和介于2-3之间）的原则来判断的。久而久之容易形成刻板印象，只通过边长比值来判断，这是不可取的。（见《混凝土》下册P30）
而实际上单向板和双向板定义：只在一个方向弯曲或主要在一个方向弯曲的板称为单向板；在两个方向弯曲且不能忽略任一方向弯曲的板称为双向板。

应力应变、内力与位移之间关系

应力与应变之间关系：
有应力不一定有应变（这个命题本身不是很严谨）比如三个方向应力取值得当可以使得某一方向无应变。
有应变不一定有应力，比如静定结构由于温度差异产生的应变。
内力和位移之间联系：
有内力不一定有位移。比如超静定结构中，由于温度变形受到限制而产生内力，但无位移。
有位移不一定有内力。比如静定结构支座位移并不产生内力。
关于位移和变形的区别，可以参考如下：

结构设计理论发展

认识、梳理工程结构设计理论的发展历史与发展状况 ，需要从两个基本维度加以考察：

• 对结构受力力学行为的科学反映方式；
• 对工程中客观存在的不确定性的科学度量方式；

第一代结构设计理论

式中$[ \sigma ]$为允许应力或容许应力强度，按下式计算：

式中，R为材料强度，K为结构安全系数。

第二代结构设计理论

由于Cornell、Ang、Lind等人的杰出工作，基于低阶统计矩的一次二阶矩理论开始完善，并被十分精彩地表达为分项系数设计公式（以结构恒载与活载组合为例)：

我国规范中表述的一般形式如下：

由于低阶矩仅能反映荷载与结构抗力分布的主要特征，作为设计衡量标准的可靠度指标β与失效概率之间的关系又基于正态分布假定，因此，人们将这一设计理论称为考虑多种极限状态的近似概率设计法（亦称近似概率极限状态设计方法），它构成了第二代结构设计理论的核心。

第三代结构设计理论

第二代结构设计理论存在两个基本矛盾：

• 在构件设计层次考虑非线性、而在结构分析层次忽略非线性；
• 在构件设计层次考虑随机性、而在结构分析层次不承认随机性影响。

第三代结构设计理论致力于解决上述问题，其基本框架为：

参考文献

[1] 李杰. 论第三代结构设计理论[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(5): 617-624+632.