傅里叶变换及其应用

前言

最近写智能设计与建造的作业，偶然兴起想把地震动响应(时域信号)转换成频域信号，需要用到傅里叶变换，于是就去系统学了学，做了相关笔记(手稿)，后面有兴趣还会做一些简单的项目实战一下。
参考资料：

  1. 李永乐讲傅里叶变换: 只推荐前半部分，后半部分就在乱讲。
  2. 傅里叶变换通俗解释: 对于三角函数系的正交表示提了一嘴，有利于我们记忆。
  3. 从傅里叶级数到傅里叶变换：详细的数学推导
  4. 傅里叶变换推导: 这个视频很好地弥补了李永乐老师讲的不足的地方。
  5. 本篇博客封面：本篇博客封面引用了该文章里的图片，内容并未详细阅读。

理论推导

实战

本文选取的地震波文件:acc.txt，使用离散傅里叶变换将地震加速度时程曲线转化成频域曲线，相关代码如下：

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clear all
clc
%% acqurie data from files and produce time-domain data
file_acc = fopen('./data/acc.txt','r');
acc_data = fscanf(file_acc,'%f',[1,inf]);
acc_data = reshape(acc_data,[],1);
acc_data = 9.8 .*acc_data;
fclose(file_acc);
rows_acc_data = size(acc_data,1);
total_time = (rows_acc_data-1).*0.01;
time_data = 0:0.01:total_time;
time_acc = [time_data;acc_data.'].';
figure(1);
plot(time_acc(:,1),time_acc(:,2));
title("Ground motion")

%% fourier tansform
base_freq = 2.*pi ./(rows_acc_data-1) ;
Freq = zeros(rows_acc_data-1,2);
for k = 1:1:rows_acc_data-1
    Freq(k,1) = (k-1)./total_time;
    temp_freq = 0;
    for n = 1:1:rows_acc_data-1
        temp_freq = temp_freq + time_acc(n,2).*exp(-i.*(n-1).*(k-1).*2.*pi./(rows_acc_data-1));
    end
    Freq(k,2) = abs(temp_freq);
end

n_f = (rows_acc_data-1)./2; %由于采样定理，采样频率的一半（奈奎斯特频率）是频域的最高解析频率，超过奈奎斯特频率的部分是负频率的镜像。
figure(2);
plot(Freq(1:n_f,1),Freq(1:n_f,2));
title("Frequency Domain");
xlabel("Frequency (Hz)");
ylabel("Magnitude");

最后结果也是和matlab中fft计算结果吻合较好。
加速度时程曲线：
加速度时程曲线

利用DFT公式计算结果：
dft